НОЦ «Нелинейный Геометрический анализ»
Гранты и госконтракты
На данный момент деятельность НОЦ «Нелинейный Геометрический анализ» поддержана следующими грантами.
1. «Краевые задачи на объектах сложной геометрической структуры» (РФФИ, 2015-2017 гг.)
Руководитель: Мазепа Елена Алексеевна.
По результатам деятельности в рамках научного исследования были достигнуты следующие результаты:
Количество научных работ опубликованных в 2015 году – 12.
Из них в изданиях, включенных в перечень ВАК – 3.
Из них в изданиях, включенных в библиографическую базу данных РИНЦ – 4.
Из них в изданиях, включенных в международные системы цитирования (библиографические и реферативные базы научных публикаций) – 1.
В соответствии с указанными направлениями на первом этапе выполнения проекта были получены следующие результаты.
1. Развит аппроксимативный подход к построению решения краевых задач для полулинейных уравнений эллиптического типа на произвольных некомпактных римановых многообразиях. Методика исследования, с одной стороны, существенным образом опирается на подход, основанный на введении классов эквивалентных на римановом многообразии функций и представленный, например, в ранних работах Мазепы Е.А. (Сиб. мат. журн., 2002; Изв. Вузов, сер. Математика, 2005). С другой стороны, она обобщает методику построения обобщенного решения задачи Дирихле с непрерывными граничными данными для уравнения Лапласа- Бельтрами в ограниченных областях, представленную в работах Келдыша М.В. (УМН, 1941; Докл. АН СССР, 1941).
Были найдены условия равномерной сходимости аппроксимирующей последовательности к обобщенному решению задачи Дирихле с непрерывными граничными данными для полулинейного эллиптического уравнения на произвольных гладких некомпактных римановых многообразиях, а также получены достаточные условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи в классическом смысле.
2. Результатом проведенных исследований является получение условий выполнения теорем типа Лиувилля для обобщенных решений эллиптических уравнений, в частности для уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шредингера, на негладких поверхностях вращения, на сферически - симметрических многообразиях с липшицевой метрикой. Данные результаты обобщают аналогичные утверждения, полученные ранее в работах А.Г. Лосева, Е.А. Мазепы, С.А. Королькова, M. Murata и справедливые для модельных римановых многообразий с гладкой метрикой.
3. Получены достаточные условия выполнения теорем типа Лиувилля для положительных решений стационарного уравнения Гинзбурга-Ландау на простейших искривленных римановых произведениях (сферически-симметричных римановых многообразиях), а также достаточные условия существования и несуществования радиально-симметричных положительных решений для уравнений типа Эмдена-Фаулера.
Исследовано асимптотическое поведение положительных решений некоторых Квазилинейных эллиптических неравенств (аналогов уравнений типа Эмдена---Фаулера) на искривленных римановых произведениях. В частности, найдены точные условия существования и несуществования нетривиальных (положительных) целых решений указанных неравенств на данных римановых многообразиях. Полученные результаты обобщают аналогичные утверждения, полученные ранее в работах Naito. Y. и Usami H. (Math. Z., 1997) для евклидова пространства, а также некоторые ранее полученные результаты работ А.Г. Лосева и Е.А. Мазепы (УМЖ, 2013; Вестник ВолГУ, 2013) для модельных многообразий.
2. «Разработка универсальной системы программных модулей для расчета и визуализации упругих деформаций тонких оболочек и равновесных поверхностей» (РФФИ, 2015-2016 гг.)
Руководитель: Клячин Алексей Александрович.
По результатам деятельности в рамках научного исследования были достигнуты следующие результаты:
Количество научных работ опубликованных в 2015 году – 19.
Из них в изданиях, включенных в перечень ВАК – 5.
Из них в изданиях, включенных в библиографическую базу данных РИНЦ – 5.
Из них в изданиях, включенных в международные системы цитирования (библиографические и реферативные базы научных публикаций) – 1.
В соответствии с указанными направлениями на первом этапе выполнения проекта были получены следующие результаты.
1. Получена формула, позволяющая вычислять погрешность, с которой может быть подсчитан заданный интегральный функционал общего вида при использовании кусочно-линейного приближения. На ее основе даны оценки погрешности вычисления площади поверхности и интеграла энергии равновесной капиллярной поверхности.
2. Указанные выше оценки погрешности вычисления различных функционалов позволили доказать равномерную сходимость кусочно-линейных решений контактной краевой задачи для уравнения равновесной капиллярной поверхности.
3. Доказана равномерная сходимость приближенных полиномиальных решений задачи Дирихле уравнения минимальной поверхности.
4. Выполнено построение триангуляции пространственных элементарных областей и дана оценка минимального двугранного угла ее тетраэдров.
5. Представлена схема численного расчета и численного исследования устойчивости равновесных поверхностей, являющихся решением вариационной задачи на минимум площади при наличии ограничений интегрального вида. При этом, схема расчета не зависит от топологии поверхности.
6. Построен алгоритм вычисления расчетной сетки методом геометрического хеширования и исследован параллельный алгоритм такого хеширования, который может быть применен для ускорения построения расчетной сетки для вычислительных задач в областях неправильной формы.
7. Дано обобщение алгоритма классической триангуляции Делоне с применением принципа условия пустого выпуклого множества, а также наличия в проверяемых кругах фиксированного количества вершин триангуляции. Для такого обобщения получена оценка геометрических характеристик триангуляции, отвечающих за степень аппроксимации.